50 problèmes d'analyse : Problèmes corrigés by Jean-Michel Ghidaglia

By Jean-Michel Ghidaglia

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Quelle est notre notion de l’engagement spirituel? Sommes-nous prêts à tout donner pour vivre cette paix et cette liberté intérieures? N’y a-t-il pas une seule vérité et une multitude d’interprétations possibles? Avec verve, Lee Lozowick tente de nous sortir de notre torpeur, de notre petit confort égocentrique de chercheurs spirituels.

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P=0 On note alors l = b a f da. 1. On suppose que g et h sont continues et strictement croissantes. Montrer que si f est continue elle est a-intégrable. 2. On ne suppose plus que g et h sont continues. Montrer que si f est continue elle est a-intégrable. Énoncé 50 Soit f une fonction localement intégrable sur R et périodique de période 2p. On note alors 2p 1 fˆ(n) = f (x)e−inx d x, 2p 0 lorsque n parcourt Z. 1. On dit que f est à variation bornée sur [0, 2p] s’il existe une constante C telle que pour toute subdivision x de [0, 2p] : x = (0 = x0 < x1 < ...

1. Écrire que d 2 d x (u ) = 2u ddux . 5. Observer que S est une sphère unité. 3. Montrer que pour tout w ∈ C 1 ([0, 1]; R) avec w(0) = w(1) = 0, 1 1 t → [ 0 (v + tw)2 d x/ 0 (v + tw )2 d x] possède un maximum local en t = 0. 4. Considérer u/ u (x)2 d x. 5. Utiliser les coefficients de Fourier. 1. Utiliser une suite ak 0 telle que k∈N ak < ∞ alors que kak2 = +∞. 2. Utiliser le théorème de continuité des intégrales par rapport à un paramètre. 3. Exprimer w(t) à l’aide de l’identité de Parseval. 4.

Montrer que la matrice carrée d’ordre 2N + 1 : (eilx j ) 0 0 la matrice : 1 e−ilx j 2N + 1 0 l 2N 0 j 2N l 2N j 2N a pour inverse . a. Soit f ∈ E. Montrer qu’il existe un unique élément de E N (noté C N f ) tel que : (C N f )(x j ) = f (x j ), ∀ j ∈ F2N +1 . b. Montrer que C N est une application linéaire de E dans E N . c. Montrer que C N = PN (on pourra remarquer que C N e2N +1 = e0 ). 25. On désigne par E2N +1 l’ensemble des applications de F2N +1 dans C, on note (z k )k∈F2N +1 ces applications.

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