Analyse non standard by F. Diener, G. Reeb

By F. Diener, G. Reeb

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Eloge de la folle sagesse

Quelle est notre belief de l’engagement spirituel? Sommes-nous prêts à tout donner pour vivre cette paix et cette liberté intérieures? N’y a-t-il pas une seule vérité et une multitude d’interprétations possibles? Avec verve, Lee Lozowick tente de nous sortir de notre torpeur, de notre petit confort égocentrique de chercheurs spirituels.

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2 V2 et V = Vo+éi V{+éi é2 V2 sont deux décompositions de Goze de V, alo rs il existe a, b et c standard tels que : = = ae1 + bé1 ! 2 Cê 1 é2 a V{ b V{ + cV2 Exercice 3. 6 (Désingularisation) Soit V un vecteur infinitésimal de R 2 , de composantes ( '71 t TJ2) ayant pou r décomposition de Goze V = é1 V1 + é 1 e2 V2 . 5. EXERCICES ET PROBLÈMES 49 a) Montrer que l 'application L : ( e 1 , e ) 1-+ ( 771 , 77 ) est une transformation 2 2 quadratique standard de R 2 de l'un des types suivants : L ( z , y) = (z , z y) ou L ( z , y) = ( x ( a + y) , x ) .

Tentons de nous convaincre de ce r ésultat sur quelques exe mples. Tout d 'abord , pour E = N, on sait que pour tout élément N deN, l 'ensemble F = {nE N 1 n < N } est fini ( c'est un r ésultat classique ). Mais il est clair aussi qu e pour N illimité, cet ensemble contient , par définition, to us les entiers standard. Dans le cas o ù E = R, une constru ction explicite de F est moins év idente . Mais on peut se co nvain cre de son existence po ur E = [0, 1) par exemple. Considérons le sous -ensemble de [0, 1) D = {xo = 0, x1 = 1/N, x2 = 2/N, ...

Le théorème en découle facilement . Soit 0 l'ensemble des intervalles ouverts de [0, 1] et soit A une partie stan­ dard de [0, 1] . La partie A est négligeable au sens de Lebesgue si et seulement si pour tout e > 0 on peut trouver un ouvert U qui recouvre A et dont la mesure I'(U) est inférieure à e. J E 0 A C U et I' (U) < e ou bien encore par transfert, (i) Nous allons montrer que cette propriété (i) est équivalente à la propriété : (ii) où lA est la fonction caractéristique de A. Ceci terminera la preuve car (ii) exprime précisément que lA est intégrable au sens de la carac térisation 3.

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